Dalla via del ritorno all’inquinamento diffuso nei fiumi

Matematica ordinaria

Era una calda sera d’estate e due amici, Marco e Luca, decisero di andare al bar per passare la serata. Dopo qualche ora, dopo un po ‘di birra, era ora di tornare a casa; Entrambi i ragazzi affrontano il viaggio di ritorno a casa, a piedi, sotto l’influenza della pressatura della birra. Supponiamo, quindi, che entrambi viaggino a ritroso Bicicletta casuale Si distinguono per un certo potenziale di realizzazione Un passo a destra o uno a sinistra. Come ulteriore distinzione, assumeremo che il percorso di Mark sia completamente piatto mentre Luca si trova su un percorso diagonale. Per semplicità, immaginiamo il metodo unidimensionale.

Marco Movimento

Marco si trova quindi a viaggiare in un movimento, con un passo spaziale (h /) e un passo temporale (tau), caratterizzati ugualmente da Opportunità A destra oa sinistra indipendentemente dal passaggio precedente.

Dopo i passaggi (N ), il segno sarà a una distanza (x = mh ), dove (N ) è un numero intero naturale e (m ) è un numero intero relativo tale che $$ -N le m le N $$
Indichiamo con (p (x, t) ) la probabilità che Marco nel tempo sia (t ) nel punto (x ).
Una possibile spiegazione potrebbe essere la seguente: stiamo lanciando (N ) volte una moneta (non contraffatta). Se esce testa Marco si sposta a destra e vince 1 euro, se esce croce Marco si sposta a sinistra e perde 1 euro. La probabilità (p (x, t) ) è la probabilità di avere (m ) l’euro dopo i lanci di (N ).
Ricordiamo ora che il passaggio di ogni Mark è indipendente dal passaggio precedente: se era in x al tempo t, significa che nel passaggio precedente potrebbe essere nel punto (x + h ) o (xh ). La teoria della probabilità totale fornisce la relazione
$$ p sinistra (x, t + tau destra) = frac {1} {2} p sinistra (xh, t destra) + frac {1} {2} p sinistra (x + h , T right) $$
Se ora immaginiamo il caso specifico in cui ( tau text {e} h ) tende a zero, allora otteniamo l’equazione nei passaggi appropriati [1]
$$ frac { partial p} { partial t} – frac {h ^ 2} { tau} frac { partial ^ 2p} { partial x ^ 2} = 0 $$
Questa equazione è anche nota come Equazione del calore o equazione della diffusione, È il modello matematico più semplice che descrive, ad esempio, lo sviluppo spaziale di una gocciolina di inquinante in un fiume.

Luca movimento

Ma non dimentichiamoci Luca. Dovrà anche fare i conti con il viaggio di ritorno, con un altro ostacolo: la strada che deve prendere Tende. Quindi, a differenza di Marco, farebbe un passo a destra con probabilità (p_0 neq frac {1} {2} ) e un passo a sinistra con probabilità (1-p_0 ).

La teoria della probabilità totale fornisce, questa volta
$$ p sinistra (x, t + tau destra) = p_0p sinistra (xh, t destra) + sinistra (1-p_o destra) p sinistra (x + h, t destra) $$
Resta inteso che la situazione è diversa. Infatti, supponendo che ( tau ) e (h ) tendano a zero, l’equazione risultante è
$$ frac { partial p} { partial t} = frac {h ^ 2} { tau} frac { partial ^ 2p} { partial x ^ 2} + frac { left (1- 2p_0 right) h} { tau} frac { partial p} { partial x} $$
Abbiamo un termine aggiuntivo che rappresenta Tasso di prevalenza degli inquinanti (Si noti infatti che il termine h / t ha dimensioni di velocità). L’ultimo termine rappresenta la corrente del fiume da dirigere a destra, se il coefficiente è negativo, a sinistra viceversa.

E il movimento browniano?

Finora abbiamo trovato il collegamento tra una serata al bar con gli amici e un trasporto contaminato in un fiume. Per capire l’associazione con il moto browniano, è necessario ricordare come abbiamo definito (p left (x, t right) ): era una possibilità. Le equazioni ottenute sopra hanno una probabilità sconosciuta (densità di probabilità per essere esatte) e quindi rappresentano Processi casuali. La stessa posizione (x ) è una variabile casuale a cui possiamo applicare il teorema del limite centrale [2] Questo ci assicura che converge con una variabile casuale la cui distribuzione è solo a Moto Browniano.

Articolo a cura di Mirko Baroni

[1] S. Salsa, “Equazioni differenziali parziali”, 2010, Springer
[2] J. Jacod e P. Protter, “Probability Essentials”, 2004, Springer